Uma generalização do pequeno teorema de Fermat via sistemas dinâmicos e a solução de um problema de L. Levine

Abstract

Resumo. Fixado um inteiro k ≥ 1, Em [1], Levine considera a dinâmica induzida pela função f(z) = z k no círculo unitário S 1 e provou que P m|n µ(n/m)Nm é divisível por n, portanto, generalizando o pequeno teorema de Fermat. A notação Nm indica o número de pontos fixos de f m em S 1 e µ é a função de Möbius. Ao mesmo tempo o autor deixa em aberto uma pergunta: dada uma sequência de inteiros (Nm)m não-negativos, existe alguma função f que realiza essa sequência e satisfaz o critério de divisibilidade? Neste artigo revisitamos o conhecido teorema de Euler usando polinômios de Chebyshev e respondemos negativamente à pergunta de Levine com um argumento baseado no teorema de Sharkovsky.