Funções de uma variável complexa: funções analíticas e transformações conformes

Abstract

Resumo: Esta monografia apresenta um estudo sobre funções analíticas complexas, explorando suas principais propriedades e aplicações. Inicialmente, define-se o conjunto dos números complexos, destacando a distinção entre o conjunto C e o espaço usual R2. Em seguida, são introduzidos os conceitos de limite e derivada para funções de uma variável complexa, culminando na definição de função analítica complexa. Além disso, realiza-se uma breve comparação entre funções analíticas no contexto real e no complexo. O trabalho também aborda as equações de Cauchy-Riemann e o conceito de funções harmônicas, além de apresentar definições e propriedades de polinômios e funções racionais complexas. Por fim, são discutidos conceitos fundamentais e teoremas relevantes sobre Transformações Conformes. Nos anexos, são fornecidas instruções e códigos em Python para a geração das imagens de autoria própria apresentadas ao longo do trabalho.___Abstract: This monograph presents a study on complex analytic functions, exploring their main properties and applications. Initially, the set of complex numbers is defined, highlighting the distinction between the set C and the usual space R2. Then, the concepts of limit and derivative for functions of a complex variable are introduced, leading to the definition of a complex analytic function. Furthermore, a brief comparison between analytic functions in the real and complex contexts is presented. The work also discusses the Cauchy-Riemann equations and the concept of harmonic functions, as well as definitions and properties of polynomials and complex rational functions. Finally, fundamental concepts and rele vant theorems concerning Conformal Transformations are addressed. In the appendices, instructions and Python code are provided for generating the original images presented throughout the work.